Fibonacci Animation
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Sogenannte Fibonacci Zahlen sind ein Beispiel dafür, dass Mathematik auch sehr unterhaltsam und schön sein kann. Du kannst hier direkt eine Fibonacci Animation starten oder dir zuerst einmal die Informationen durchlesen.
- Fibonacci Animation
- 1. Wer war Fibonacci?
- 2. Was sind Fibonacci-Zahlen?
- 3. Welchen Sinn haben sie?
- 4. Wie kam Fibonacci auf diese Zahlenreihe?
- 5. Was kann man mit Fibonacci-Zahlen anfangen?
- Was ist der Goldene Schnitt?
- Wie hängen Fibonacci-Zahlen mit dem Goldenen Schnitt zusammen?
- Der Goldene Winkel – Verbindung zur Natur
- Warum nutzt die Natur Fibonacci + Goldenen Schnitt?
1. Wer war Fibonacci?
Fibonacci war ein italienischer Mathematiker. Sein richtiger Name war Leonardo da Pisa.
Überblick:
| Punkt | Info |
|---|---|
| Geboren | um 1170 |
| Gestorben | um 1240 |
| Herkunft | Pisa, Italien |
| Beruf | Mathematiker, Händler, Reisender |
| Wichtigstes Werk | „Liber Abaci“ (1202) |
Er lernte in Nordafrika Mathematik, weil sein Vater dort als Handelsvertreter arbeitete. Dadurch begegnete er dem arabischen Zahlensystem, also den Ziffern 0–9, die wir heute benutzen.
2. Was sind Fibonacci-Zahlen?
Die Fibonacci-Zahlen sind eine einfache Zahlenfolge:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
Regel:
- Jede neue Zahl entsteht aus der Summe der vorherigen zwei Zahlen.
Beispiel:
1 + 2 = 3 ... 2 + 3 = 5 ... 3 + 5 = 8 ... 5 + 8 = 13 ... 8 + 13 = 21
Eine sehr kleine Regel – aber mit riesigen Folgen.
3. Welchen Sinn haben sie?
Eigentlich waren die Fibonacci-Zahlen zuerst kein Naturgesetz, sondern nur ein Rechenbeispiel.
ABER: Später stellte man fest, dass sie in vielen Bereichen der Natur vorkommen.
Wo treten sie in der Natur auf?
| Bereich | Beispiel |
|---|---|
| Pflanzen | Anzahl der Blätter, Samenmuster, Sonnenblumen, Tannenzapfen |
| Tiere | Wachstum von Schneckenhäusern, Spiralen |
| Biologie | Zellteilungen, Wachstumsprozesse |
| Kunst & Architektur | Proportionen, Gestaltung |
| Mathematik | Optimierung, Berechnungen |
Die Natur nutzt Fibonacci-Zahlen, weil sie effizient und formschön sind.
4. Wie kam Fibonacci auf diese Zahlenreihe?
Fibonacci erfand die Reihe nicht absichtlich. Sie entstand durch ein gedankliches Rechenproblem in seinem Buch.
Das berühmte Beispiel:
Fibonacci stellte die Frage:
Wie viele Kaninchenpaare entstehen in einem Jahr, wenn sich jedes Paar jeden Monat vermehrt?
Regeln:
- Ein Kaninchenpaar bekommt jeden Monat Nachwuchs.
- Die Jungtiere brauchen einen Monat, bis sie sich selbst vermehren können.
Die Monatsergebnisse ergeben genau die Fibonacci-Zahlen:
| Monat | Anzahl Kaninchenpaare |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 1 |
| 3 | 2 |
| 4 | 3 |
| 5 | 5 |
| 6 | 8 |
| … | … |
Diese Zahlen erschienen Fibonacci einfach als Lösung eines Tier-Problems – doch später bemerkten Mathematiker die tiefe Bedeutung dahinter.
5. Was kann man mit Fibonacci-Zahlen anfangen?
Fibonacci-Zahlen sind heute in vielen Bereichen nützlich.
A) Natur und Biologie
- Pflanzenblätter stehen oft in Fibonacci-Winkeln
- Sonnenblumenkerne bilden ein Fibonacci-Muster
- Wachstum von natürlichen Spiralen folgt der Reihe
B) Kunst und Gestaltung
Fibonacci-Zahlen hängen eng mit dem Goldenen Schnitt zusammen. Dieser steht für besonders harmonische Formen:
| Begriff | Erklärung |
|---|---|
| Goldener Schnitt | Ein Verhältnis, das Menschen als besonders schön empfinden |
| Goldener Winkel | Winkel von ca. 137,5°, führt zu den typischen Pflanzenmustern |
C) Technik und Informatik
- Optimierungsalgorithmen
- Schnelle Suchmethoden
- Datenstrukturen
- Computergrafik (z. B. Spiralformen, Fraktale)
D) Finanzwelt
In der Börsenanalyse versucht man, Kurse mit Fibonacci-Werten vorherzusagen. (Dies ist sehr umstritten, wird aber häufig genutzt.)
Was ist der Goldene Schnitt?
Der Goldene Schnitt ist ein besonderes Verhältnis zwischen zwei Strecken. Menschen empfinden dieses Verhältnis oft als harmonisch, schön und natürlich.
Die Zahl dahinter heißt „Phi“ (φ):
φ ≈ 1,618
Das ist der Goldene Schnitt. Der Goldene Schnitt wird in der Fotografie benutzt, um Bilder interessanter und harmonischer wirken zu lassen.
Dazu teilt man das Bild nicht in 50:50, sondern im Verhältnis 62 % zu 38 %.
Wie man sieht: 100 / 61,8 ≈ 61,8 / 38,2 ≈ 1,618
Dieses Verhältnis taucht in der Natur, Architektur und Kunst immer wieder auf, weil Formen damit harmonisch, natürlich, ausgewogen wirken.
Wie hängen Fibonacci-Zahlen mit dem Goldenen Schnitt zusammen?
Die Fibonacci-Zahlen nähern sich automatisch dem Goldenen Schnitt an.
Wenn man zwei aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen durcheinander teilt, kommt man immer näher an 1,618 heran:
| Fibonacci-Zahlen | Verhältnis | Ergebnis |
|---|---|---|
| 5 / 3 | ≈ 1,666 | |
| 8 / 5 | = 1,6 | |
| 13 / 8 | = 1,625 | |
| 21 / 13 | ≈ 1,615 | |
| 34 / 21 | ≈ 1,619 | |
| 55 / 34 | ≈ 1,617 | |
| 89 / 55 | ≈ 1,61818 |
Je weiter man die Reihe fortsetzt, desto genauer wird das Ergebnis.
Die Fibonacci-Folge ist also eine natürliche Annäherung an den Goldenen Schnitt.
Der Goldene Winkel – Verbindung zur Natur
Aus dem Goldenen Schnitt entsteht der Goldene Winkel:
≈ 137,5°
Das ist der Abstand, den viele Pflanzen benutzen, wenn sie:
- Blätter an einem Stängel wachsen lassen
- Samen anordnen (z. B. Sonnenblumen)
- Zapfen- oder Ananasmuster bilden
Dieser Winkel verhindert, dass Blätter übereinander liegen. Dadurch bekommen alle Blätter gleichmäßig Licht.
Die Natur optimiert sich damit selbst.
Warum nutzt die Natur Fibonacci + Goldenen Schnitt?
- Platz optimal ausnutzen
- gleichmäßige Verteilung schaffen
- harmonische Formen bilden
- Wachstum effizient organisieren
Beispiele:
| Beispiel | Erklärung |
|---|---|
| Sonnenblumen | Samen füllen die Fläche lückenlos |
| Kakteen | Stacheln spiralförmig angeordnet |
| Kiefernzapfen | Spiralen nach Fibonacci |
| Schneckenhäuser | Wachstums-Spirale ähnelt Phi |
Die Muster wirken nicht nur schön, sie sind auch effizient.